Добавлено (2008-09-07, 3:51 Pm)
---------------------------------------------
Как извлечь корень 13-й степени из 200-значного числа за считанные секунды

85 877 066 894 718 045 602 549 144 850 158 599 202 771 247 748 960 878 023 151 390 314 284 284 465 842 798 373 290 242 826 571 823 153 045 030 300 932 591 615 405 929 429 773 640 895 967 991 430 381 763 526 613 357 308 674 592 650 724 521 841 103 664 923 661 204 223.

А вам слабо?
Прочитали? Запомнили число? Нет? Странно. А сколько в нем было цифр, не обратили внимания? Тоже нет? Ну а хотя бы четное оно было или нечетное, скажете, не подсматривая? Опять нет? А простое или составное?
А сколько времени вам понадобилось для того, чтобы прочесть предыдущие два абзаца? Если вы просто пробегали глазами, то несколько секунд, если всерьез пытались ответить на вопросы - то больше, может быть, даже минута. Человеку-калькулятору Алексису Лемэру нужно примерно столько же времени, чтобы безошибочно извлечь из этого числа корень тринадцатой степени. В уме. Это включая ознакомление с числом и оглашение ответа. Количество цифр Лемэру, правда, подсчитывать не надо - он и так заранее знает, что их ровно двести.
Двести - потому что сто для Лемэра - это слишком просто, корень 13-й степени из стозначного числа он научился находить менее, чем за четыре секунды, и решил, что дальше совершенствоваться уже некуда.
Тринадцатый корень
Извлечение корня 13-й степени из очень больших чисел - традиционная форма соревнований по быстрым вычислениям в уме. Найти корень сложнее, чем возвести в степень - это нельзя сделать напрямую, перемножив числа в столбик. Почему именно 13-й?
На самом деле сложность вычисления определяется не столько степенью корня, сколько длиной числа: чем оно длиннее, тем труднее найти ответ. Но и степень корня имеет значение: от нее зависит, во-первых, количество потенциально подходящих, но ошибочных ответов, во-вторых, количество заранее известных закономерностей, которым будет подчиняться ответ.
Задания подбираются так, чтобы ответ являлся целым числом. Например, для стозначного числа ответом теоретически могут являться 7992563 числа: от 41246264 до 49238826 (все прочие числа при возведении в тринадцатую степень дают не стозначное число). Для двухсотзначного таких возможностей во много раз больше: 393544396177593 (без малого четыреста триллионов). Поэтому у профессионалов извлечение корня из стозначного числа считается забавой для начинающих, а вот из двухсотзначного - уже нормальным заданием.
Количество потенциальных ответов зависит от степени корня сложным образом. "Официальный сайт корня 13-й степени" приводит такую шкалу сложности для некоторых степеней: 10>15>12>13=17=137=23=7>667>9=19>11=31>101>1001>4>3>2>1.
Особенно трогательно смотрится единица в конце (корень первой степени - это, разумеется, само число).
13 - простое число, поэтому вычисление корня нельзя свести к пошаговому нахождению более простых корней. Например, корень девятой степени из 512 (для тех, кто не знает его наизусть, конечно) можно вычислить, найдя корень третьей степени - 8, а затем найдя корень третьей степени из него - 2. С тринадцатью такой номер не пройдет.
Никаким особым закономерностям "тринадцатый" корень тоже не подчиняется. Можно разве что отметить, что последняя цифра корня всегда совпадает с последней цифрой числа, из которого он извлекается. Это помогает, но не очень.
До недавнего времени книга рекордов Гиннесса фиксировала замечательные результаты по извлечению корня, однако сейчас прекратила, обосновав это тем, что сложность задачи зависит еще и от числа, случайно выданного в качестве задания: для каких-то чисел она проще, для каких-то - сложнее. Пока непонятно, как можно было бы стандартизовать эту сложность, поэтому книга временно прекратила официальную регистрацию рекордов.
Кто такие рекордсмены и как они это делают
Случай на лекции Колмогорова "Что ожидает выбравшего математику?"
Был предложен один из таких тестов: понять, каким образом при пересечении куба плоскостью может получиться шестиугольник. Это не очень сложно, сказал Колмогоров (Андрей Николаевич - гениальный математик, великий российский ученый - прим "Ленты.ру"), но каждый претендующий на то, чтобы выбрать математику профессией, должен уметь представить себе соответствующий чертеж. А уж кто не умеет, тому разумно поискать другую профессию. Тут Колмогоров дал всем минуты три для самостоятельного решения, после чего нарисовал на доске куб и стал пересекать его плоскостью. Как он ни старался, шестиугольник у него не получился. Он слегка разозлился, стер куб и перешел к следующей теме.
В. А. Успенский, "Колмогоров, каким я его помню".
Последние замечательные результаты в области быстрых вычислений в уме принадлежат французу Алексису Лемэру и австрийцу немецкого происхождения Герту Миттрингу. Интересно, что их деятельность в обычной жизни явно связана с их поразительными способностями: 27-летний Лемэр занимается искусственным интеллектом, а 41-летний Миттринг - проблемами одаренных детей.
Один из предыдущих держателей рекорда, ныне покойный голландец Виллем (Вим) Клейн, зарабатывал на жизнь непосредственно своим искусством. Сначала он выступал в составах различных трупп вместе с огнеглотателями, человеком-змеей и прочими циркачами, затем читал занимательные лекции, а затем с конца пятидесятых до середины семидесятых годов работал ни много ни мало в ЦЕРНе "живым компьютером" - "программистом и числовым аналитиком". Клейн по заказам физиков проводил сложные вычисления в уме, с распространением компьютеров начал помогать составлять программы.
Как находить корни (в уме, на бумаге, на компьютере) - учит специальный раздел математики, теория чисел. Клейна, Миттринга, Лемэра и им подобных можно назвать практиками чисел. Разумеется, практики чисел могут не только вычислять корни - они могут проводить и другие вычисления, запоминать огромные объемы информации (необязательно только числовой) и заниматься прочей гимнастикой чистого разума.
Как они это делают? Во-первых, знают и, что еще более важно, чувствуют (одно дело - знать механически, другое - глубоко понимать) специальные алгоритмы (при необходимости - придумывают сами). Знают на память таблицы квадратов, кубов, логарифмов (которые тоже могут пригодиться при вычислении корня). Во-вторых, ежедневно тренируют память, устный счет и прочие необходимые навыки. В-третьих, видимо, обладают некоторыми врожденными способностями, которые обычные люди приобрести не в состоянии.
Лемэр говорит, что воспринимает числа не просто как ряды цифр. Логично - за четыре секунды невозможно даже вдумчиво прочитать стозначное число цифру за цифрой. Он воспринимает число целостно и "видит" ответ - наверное, без совершения всех необходимых промежуточных операций. Числа ассоциируются у него со словами, со зрительными образами - короче говоря, мозг работает особым образом.
Подобным образом человек, выучивший в школе таблицу умножения, решивший без калькулятора несколько тысяч примеров и обладающий хоть какими-то способностями к устному счету, может изумлять тех, кто таблицы умножения не знает и без калькулятора считать не умеет. Просто разница в умениях не столь поразительна, как в случае с практиками чисел типа Лемэра.
Интересно, что такие способности могут сочетаться и с обычным интеллектом, и с высоким, и с низким: известно множество примеров идиотов-гениев - людей с низкими или даже патологическими низкими умственными способностями, которые, однако, демонстрируют в чем-то одном, вроде извлечения корней из огромных чисел, поразительные способности.
Основная задача человеческого интеллекта - скорее не в этом, а в умении делать обобщения, проводить аналогии, видеть похожее в непохожем, необычное в обычном (и обычное в необычном), наконец, заниматься творчеством.
А корень тринадцатой степени из числа, приведенного в начале статьи, кстати, равен 2396232838850303. Пересчитывать будете?